Home | BAC/Teze | Biblioteca | Jobs | Referate | Horoscop | Muzica | Dex | Games | Barbie

 

Search!

     

 

Index | Forum | E-mail

   

<<-Fiecare om posedă un anumit orizont. Când se îngustează și devine infinit de mic, el se transformă în punct și atunci omul zice: Acesta este punctul meu de vedere".>>
                                                                                                            David Hilbet

 

 
 
 
 
 Meniu rapid  Portalul e-scoala | CAMPUS ASLS | Forum discutii | Premii de excelenta | Europa





 

 

 

 

 

<Inapoi la cuprins

 

APOLLONIOS (262-180 i.e.n.)
 

 

- STUDIUL CONICELOR
- PRIMELE PATRU CARTI DIN CONICELE
- ULTIMELE PATRU CARTI
- ALTE OPERE ALE LUI APOLLONIOS
 

Apollonios din Perga, “Marele geometru”, a trait la sfarsitul secolului al III-lea si inceputul secolului al II-lea i.e.n. la Alexandria, Efes si Pergam. Principala lui opera, tratatul intitulat Conicele, cuprinde 8 carti, dintre care primele 7 s-au pastrat pana in zilele noastre, 4 in greceste, iar celelalte in araba.
Celelalte lucrari ale lui Apollonios, foarte numeroase, ne sunt cunoscute indirect, mai ales prin intermediul comentariilor lui Pappus, deoarece numai una dintre ele, prima de pe lista, a ajuns pana la noi, si aceasta intr-o versiune araba. Este vorba de lucrarile intitulate Despre sectionarea intr-un raport, Despre sectionarea intr-o arie, Despre sectionarea determinata, Despre inclinatii, Despre locurile plane, Despre contacte, Okytokion (literal – Nasteri rapide.) – opera de logistica in care se pare ca era expus un sistem de numeratie pentru numere mari, mai practic decat cel al lui Arhimede, si care se pare ca este cel care a precumpanit la greci. Multumita lui Geminos, se mai cunoaste o lucrare despre surub sau elicea cilindrica. Marinos din Napoli citeaza un Tratat universal, in care erau examinate – probabil, intr-o maniera critica – fundamentele matematicii si din care ne-au ramas cateva fragmente fie in Comentariul lui Proclos la prima carte a lui Euclid, fie in Definitiile atribuite lui Heron.

STUDIUL CONICELOR.
Intr-un capitol precedent am semnalat cele cateva detalii de care dispunem cu privire la inceputurile studiului sectiunilor conice in operele lui Menechmos, Aristeu si Euclid,. Studiul operelor lui Arhimede ne arata ca, pe vremea acestuia, teoria conicelor era deja foarte avansata. Pe atunci, conicele se numeau “sectiunea conului cu unghi ascutit” (elipsa), “sectiunea conului cu unghi drept” (parabola), “sectiunea conului cu unghi obtuz” (hiperbola); terminologia actuala a fost introdusa de Apollonios. Intr-adevar, toate conicele erau reduse la studiul sectiunii unui con de revolutie printr-un plan perpendicular pe una dintre generatoare.
Fie, de exemplu, conul cu unghi ascutit care are varful S, axa SL si generatoarea SA, taiat de planul AMB, care este perpendicular pe SA. Din punctul M, luat pe sectiunea de studiat, ducem Mm, perpendiculara in m pe planul ASB, deci pe diametrul PQ al sectiunii circulare care trece prin M, si pe axa AB a sectiunii de care ne ocupam. Din Elementele lui Euclid se stie ca

In calculele de mai sus, noi am urmat pas cu pas procedeul grecilor, care se bazeaza pe algebra geometrica si care enunta rezultatul in forma urmatoare:
“In sectiunea conului cu unghi ascutit, raportul dintre patratul ordonatei si dreptunghiul celor doua abscise pe diametru este egal cu dublul raportului dintre segmentul pana la axa si diametru.”
Cand un grec studia un loc geometric plan, algebra geometrica – foarte supla pana la relatiile de gradul al doilea – ii permitea sa reduca ecuatia, prin transformari succesive (folosim aici limbajul modern), la o forma canonica, in care recunostea, de exemplu, una dintre cele 3 conice. De aici inainte, continuitatea locului era stabilita automat, deoarece ea se reducea la continuitatea conului de revolutie care, la randul lui, era definit cinematic.
Studiul parabolei ne-a aratat inaltul grad de elaborare a teoriei conicelor in epoca lui Arhimede. Mai putem cita si teorema puterii, numita uneori, in zilele noastre, teorema lui Newton, care era binecunoscuta de siracuzan.

PRIMELE PATRU CARTI DIN CONICELE.
In primele patru carti din Conicele, Apollonios sistematizeaza si generalizeaza cunostintele predecesorilor. Prefata generala la a doua editie a tratatului (singura editie care ne-a parvenit) este deosebit de interesanta in aceasta privinta:
“Apollonios lui Eudemos, salut”.
“Daca sanatatea ta este buna si daca tot restul decurge dupa dorinta ta, te felicit; cat despre noi, totul merge destul de bine. In timpul pe care l-am petrecut impreuna la Pergam, te-am vazut dornic de a lua cunostinta de lucrarile noastre cu privire la conice: iti trimit, de aceea, prima carte, dupa ce am corectat-o; vor urma si celelalte, dupa ce vom fi satisfacuti de redactarea lor; cred ca n-ai uitat cele ce ti-am spus: ca am scris acest tratat la cererea geometrului Naucrates, pe vremea cand acesta venise la Alexandria si se interesa de preocuparile noastre; ca dupa ce am redactat in total opt carti, i le-am comunicat fara intarziere, dar ca fiind grabiti, deoarece el era pe cale sa se imbarce, nu le-am putut perfectiona ci, din contra, am scris tot ce ne-a venit in minte, cu intentia de a reveni asupra lor mai tarziu. Acum, cand avem timp, publicam aceste carti pe masura ce le corectam. Insa deoarece multi dintre cei cu care suntem in relatii au luat deja cunostinta de prima si a doua carte inainte ca ele sa fi fost indreptate, sa nu fii mirat ca le intalnesti acum intr-o alta redactare.
Dintre aceste opt carti, primele patru urmeaza o cale elementara; prima cuprinde generarea celor trei sectiuni si a opuselor (este vorba de cele doua ramuri ale hiperbolei studiate impreuna pentru prima data sistematic, de catre Apollonios), precum si proprietatile lor principale, totul fiind expus mai amplu si cu mai multa generalitate decat in alte tratate despre aceleasi probleme. (De exemplu, Apollonios sectioneaza cu un plan oarecare, un con oarecare – drept sau oblic – cu baza circulara.) A doua carte se refera la diametrele si axele sectiunilor, la asimptote si la alte probleme de folosinta generala sau indispensabile pentru limitari (limitarile sau diorismele: discutia conditiilor in care este posibila rezolvarea problemelor): din prima carte vei afla care sunt liniile pe care le numesc diametre si cele pe care le numesc axe. Cartea a III-a contine un numar de teoreme mai putin obisnuite care servesc fie pentru sinteza locurilor solide, fie pentru limitari; cele mai multe si mai frumoase dintre ele sunt noi; cautandu-le, noi am fost constienti de faptul ca Euclid n-a facut sinteza locului cu trei sau patru linii, ci numai a unei parti a acestui loc si aceasta, in mod intamplator si destul de nereusit, deoarece nu era posibil sa se faca o sinteza completa fara acele elemente inedite pe care le-am gasit noi. Cartea a IV-a determina in cate moduri se pot intretaia sectiunile conice intre ele sau cu o circumferinta de cerc si rezolva, in afara de aceasta, si alte probleme, dintre care nici una nu a fost tratata de predecesorii nostri (si anume), in cate puncte se intretaie cu sectiunile opuse o sectine conica sau o circumferinta de cerc.
Ultimele carti se ocupa cu teoriile mai rafinate: intr-adevar, una se ocupa cu studii de maximum si minimum, alta – de egalitatea si asemanarea sectiunilor conice, urmatoarea – de teoremele privitoarea la limitari si, in fine, ultima – de probleme determinate referitoare la conice. De altfel, cand toate cartile vor fi publicate, cei care le vor studia le vor putea aprecia dupa merit. Salut.”
(Traducere dupa versiunea franceza datorata lui P. Tannery.)

In textul precedent, Apollonios face aluzie la locurile cu trei si patru drepte. Aceste locuri au devenit celebre in secolul al XVII-lea si studiul lor sta la baza Geometriei lui Descartes. Ele sunt expuse in detaliu de Pappus:
“Daca dintr-un acelasi punct se duc linii drepte sub unghiuri date, care intersecteaza trei drepte ale caror pozitii sunt date, si daca raportul dintre dreptunghiul cuprins sub doua din dreptele astfel duse si patratul celei de-a treia drepte este dat, punctul apartine unui loc solid bine determinat, adica uneia dintre cele trei linii conice. Pe de alta parte, daca drepte sunt duse sub unghiuri date pana la intersectia cu patru drepte bine determinate, si daca raportul dreptunghiului cuprins sub doua dintre dreptele astfel duse si dreptunghiul cuprins sub celelalte doua este dat, punctul apartine si in acest caz unei sectiuni conice bine determinate.”

Prefata separata la Cartea a IV-a ne informeaza ca aceasta prelucreaza materialul unui tratat scris de Conon, matematician si astronom din Alexandria, prieten cu Arhimede. Nicoteles din Cirene – despre care nu se cunosc alte amanunte – criticase valoarea si utilitatea lucrarii lui Conon. Faptul in sine constituie insa un ecou al intensei activitati stiintifice din epoca aceea.

ULTIMELE PATRU CARTI.
Cartea a V-a si urmatoarele doua n-au fost cunoscute in occident decat pe la mijlocul secolului al XVII-lea, iar prima lor traducere latina a fost publicata abia in 1662. Printr-un capriciu ciudat al sortii, Huygens, tocmai inventase in anii aceia teoria curbelor desfasurate, in legatura cu anumite probleme de ceasornicarie. Cartea a V-a a Conicelor trata aceeasi chestiune, insa intr-un spirit cu totul diferit. In timp ce genialul olandez ajungea la descoperirea lui in urma unei cercetari de matematica aplicata, grecul ajunsese la ea in urma discutarii minutioase a unei probleme de geometrie pura. Iata ce scrie el insusi despre aceasta:
“Am inclus in aceasta a V-a carte propozitii relative la drepte maximale si minimale. Trebuie sa stiti ca predecesorii si contemporanii mei n-au abordat decat superficial studiul dreptelor care sunt cele mai scurte, si s-au limitat la a arata care anume drepte sunt tangente la sectiuni si, invers, care sunt proprietatile pe care le au dreptele in calitatea lor de tangente. In ceea ce ma priveste, eu am demonstrat aceste proprietati in prima carte (fara a face insa uz, in cursul acelor demonstratii, de teoria liniilor celor mai scurte), in masura in care doream sa le pun in legatura stransa cu acea parte a lucrarii in care tratez despre generarea celor trei sectiuni conice; eu voiam sa arat ca, in cazul fiecareia dintre cele trei sectiuni, apar nenumarate proprietati si consecinte necesare in legatura cu diametrul transversal prin origine. Eu am impartit in clase propozitiile in care discut liniile cele mai scurte si am tratat fiecare caz in parte, in cadrul unei demonstratii facute cu grija. De asemenea, am pus in legatura cautarea liniilor celor mai scurte cu cautarea liniilor celor mai luingi, deoarece am considerat ca cei care cultiva aceasta stiinta au nevoie de aceasta pentru analiza si studiul limitarilor problemelor, precum si pentru sinteza acestora. De altfel, subiectul acesta este unul dintre cele care, prin ele insele, sunt demne de a fi studiate.”

Alaturi de Cartea a V-a a Elementelor a lui Euclid, de scrisoarea Despre metoda adresata lui Eratostene si de tratatul Despre spirale al lui Arhimede cartea aceasta este una dintre principalele capodopere ale geometriei grecesti. Impreuna cu Cartea a II-a din Despre sfera si cilindru ea atinge una dintre culmile algebrei geometrice. Lectura ei este dificila, Apollonios adoptand un stil meticulos de sintetic. Cu toate acestea, aparatul stiintific folosit este de o simplitate iesita din comun, dar este utilizat cu o abilitate uimitoare. Tema este urmatoarea: se cere sa se duca normala la o conica printr-un punct dat al planului. Constructia acestei normale este realizata intersectand conica data cu o hiperbola echilaterala: hiperbola lui Apollonios. Problema este discutata cu foarte multa grija.
Punctele singulare prin care in loc de patru normale nu se pot duce decat trei (doua dintre ele fiind confundate) sunt construite printr-un procedeu care consta in a admite ca, de exemplu, in cazul elipsei ,

Un matematician modern ar trage de aici concluzia ca exista o linie care este desfasurata elipsei. Apollonios nu face insa acest pas, poate pentru ca n-a putut gasi o miscare care putea descrie aceasta curba.
Vom mai semnala, Cartea a VII-a, cele doua teoreme numite azi “ale lui Apollonios” despre diametrele conjugate ale conicelor cu centrul.

ALTE OPERE ALE LUI APOLLONIOS.
Operele pierdule al geometrului din Perga au facut obiectul a numeroase tentative de reconstituire, mai mult sau mai putin reusite, intreprinse de matematicieni din secolele XVI, XVII si XVIII; aceste opere nu ne sunt insa cunoscute decat prin informatiile pe care ni le furnizeaza Pappus. In cele doua carti Despre sectionarea intr-un raport se cere ca, fiind date doua drepte, cate un punct pe fiecare dintre ele, precum si un punct exterior, sa se duca prin punctul exterior o dreapta care sa determine pe cele doua drepte date segmente care sa fie intr-un raport dat. In Sectionarea intr-o arie, datele sunt aceleasi, insa se cere ca dreptunghiul construit pe cele doua segmente sa aiba o arie data. Aceste doua lucrari se refera, asadar, la proprietatile de tangenta ale conicelor, in timp ce locurile solide se refera, din contra, la proprietatile locale ale acestor curbe.
Cele doua carti Despre sectionarea determinata isi propuneau, dupa spusele lui Pappus, alte probleme de tip analog pentru rezolvarea carora algebra geometrica a grecilor se dovedea deosebit de adecvata si care in zilele noastre fac parte din algebra de gradul al doilea.
Cele doua carti Despre inclinatii se refereau la o tehnica pe care am vazut-o deja folosita de Arhimede in tratatul Despre spirale: fiind date doua linii drepte sau circulare si un punct, se cere sa se duca prin acest punct o dreapta, astfel incat liniile date sa determine pe dreapta dusa un segment de lungime data. Puse in ecuatie, problemele de acest gen sunt probleme algebrice insa, in majoritatea lor, sunt de grad mai mare decat doi si deci, dupa terminologia greaca, sunt “solide” (gradele trei si patru) sau “liniare” (grad mai mare decat patru). Dupa spusele lui Pappus, se pare insa ca tratatul lui Apollonios examina doar cazurile in care segmentul era “plan”, adica putea fi construit cu ajutorul riglei si compasului (asadar, probleme de gradele unu si doi).
Tratatul Despre contacte isi propunea, fiind date trei obiecte, luate oricum din multimile punctelor, dreptelor si cercurilor, sa duca un cerc care trece prin punctele alese si este tangent la dreptele si la cercurile luate. Primul care a incercat reconstituirea acestei lucrari a fost Viete.
Cele doua carti Despre locurile plane tratau locurile geometrice rectilinii si circulare. In limbaj geometric modern, o mare parte dintre continutul primei parti poate fi rezumat in felul urmator: homotetia, translatia, rotatia, similitudinea si inversiunea transforma un loc plan in alt loc plan. In aceasta carte se arata, in plus, ca locul punctelor ale caror distante la drepte date, luate in numar arbitrar, sunt intre ele intr-o relatie liniara data, este o dreapta. Cartea a II-a cuprinde locurile punctelor a caror diferenta intre patratele distantelor la doua puncte date este constanta, sau al caror raport al distantelor la aceste doua puncte date este dat, sau, de asemenea, ale caror patrate ale distantelor la mai multe puncte date sunt intre ele intr-o relatie liniara.

 

B i b l i o g r a f i e:

“ISTORIA GENERALA A STIINTEI”
Publicata sub conducerea lui Rene Taton
Vol. I Stiinta antica si medievala de la origini la 1450
Editura Stiintifica
Bucuresti, 1970
 

 

Home | BAC/Teze | Biblioteca | Referate | Games | Horoscop | Muzica | Versuri | Limbi straine | DEX

Modele CV | Wallpaper | Download gratuit | JOB & CARIERA | Harti | Bancuri si perle | Jocuri Barbie

Iluzii optice | Romana | Geografie | Chimie | Biologie | Engleza | Psihologie | Economie | Istorie | Chat

 

Joburi Studenti JOB-Studenti.ro

Oportunitati si locuri de munca pentru studenti si tineri profesionisti - afla cele mai noi oferte de job!

Online StudentOnlineStudent.ro

Viata in campus: stiri, burse, cazari, cluburi, baluri ale bobocilor - afla totul despre viata in studentie!

Cariere si modele CVStudentCV.ro

Dezvoltare personala pentru tineri - investeste in tine si invata ponturi pentru succesul tau in cariera!

 

 > Contribuie la proiect - Trimite un articol scris de tine

Gazduit de eXtrem computers | Project Manager: Bogdan Gavrila (C)  

 

Toate Drepturile Rezervate - ScoalaOnline Romania