Home | BAC/Teze | Biblioteca | Jobs | Referate | Horoscop | Muzica | Dex | Games | Barbie

 

Search!

     

 

Index | Forum | E-mail

   

<<-Fiecare om posedã un anumit orizont. Când se îngusteazã si devine infinit de mic, el se transformã în punct si atunci omul zice: Acesta este punctul meu de vedere".>>
                                                                                                             David Hilbet

 

 
 
 
 
 Meniu rapid  Portalul e-scoala | CAMPUS ASLS | Forum discutii | Premii de excelenta | Europa





 

 

 

 

 

<Inapoi la cuprins

 

 Tehnici CAD în rezolvarea unor probleme didactice de geometrie în spatiu

Din marea varietate de probleme de geometrie în care tehnicile CAD ne sunt de o mare utilitate, vom aborda problemele de rotatie, probleme care se studiazã în clasa a VIII-a.

Sã studiem problema urmãtoare.

Problema 1. Se considerã un triunghi dreptunghic  având lungimile celor douã catete de 3 cm, respectiv 4 cm. Se roteste triunghiul dat, respectiv în jurul celor trei laturi.

a)      Desenati cele trei corpuri obtinute în urma rotatiilor.

b)      Calculati ariile si volumele corpurilor astfel obtinute.

Rezolvare:

Sã prezentãm triunghiul atât ca figurã în plan, cât si vãzut în spatiu.

 

 

 

 

 

 

 

 Vizualizare în plan                                             Vizualizare în spatiu

 

Vom analiza cele trei posibilitãti:

Cazul 1: Dacã vom roti triunghiul în jurul catetei de lungime 3 cm, vom obtine un con de razã 4  cm, înãltime 3 cm si generatoare  5 cm, valoare pe care o gãsim usor, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul considerat. Sã vizualizãm acest con.

 

 

 

 

 

 

 

 Sectiune axialã                 Vedere "3D Wireframe"                         Vizualizarea corpului

 

            Cunoscând raza, generatoarea si înãltimea conului, se vor putea calcula aria totalã si volumul conului. Se observã utilitatea celor trei posibilitãti de vizualizare a conului:

-         vizualizarea sectiunii axiale, pentu a efectua calculele specifice geometriei plane;

-         vizualizarea "wireframe" pentru a face rationamentele specifice geometriei în spatiu. Pentru a obtine acest mod de vizualizare apelãm View/Shade/3D Wireframe;

-         vizualizarea efectivã a corpului prin View/Shade/Gouraud Shaded.

 Cazul 2: Dacã vom roti triunghiul în jurul catetei de lungime  4 cm, vom obtine un con de razã 3 cm, înãltime 4 cm si generatoare  5 cm.  Sã vizualizãm acest con.

 

 

 

 

 

 

           Sectiune axialã                         Vedere "3D Wireframe"                           Vizualizarea corpului

           

            Urmând un rationament asemãnãtor celui de la cazul întâi se pot calcula aria si volumul conului astfel obtinut.

Cazul 3: Dacã vom roti triunghiul în jurul ipotenuzei de lungime  5 cm, vom obtine o situatie mai interesantã, si anume douã conuri de aceeasi razã, egalã cu înãltimea dusã din vârful unghiului drept al triunghiului considerat. Pentru a calcula aceastã înãltime aplicãm formula care ne spune cã  lungimea acestei înãltimi se obtine împãrtind produsul lungimilor catetelor la lungimea ipotenuzei. Astfel avem  cm. Generatoarele celor douã conuri vor fi respectiv,  catetele triunghiului si anume una de lungime 4 cm, si una având  lungimea 3 cm. Înãltimile celor douã conuri sunt, respectiv proiectiile celor douã catete pe ipotenuzã. Ele pot fi calculate aplicând teorema catetei în triunghiul dat. Se vor obtine valorile  cm, respectiv pentru cel de-al doilea con ,  cm.  Aria corpului se va calcula însumând ariile laterale ale celor douã conuri, iar volumul,însumând volumele celor douã conuri. Pentru imaginea realã a corpului am ales optiunea: View/Shade/Flat Shaded. Sã vizualizãm acest corp.

 

 

 

 

 

 

 

Sectiune axialã                          Vedere "3D Wireframe"                       Vizualizarea corpului

 

Un alt mare  avantaj ale utilizãrii facililtãtilor oferite de CAD este posibilitatea vizualizãrii unei figuri plane în spatiu, din diferite unghiuri, a rotirii acesteia.

Prin aceste metode dezvoltãm în mod real vederea în spatiu e elevilor si contribuim la dezvoltarea creativitãtii acestora.

În continuare prezentãm în detaliu etapele parcurse si comenzile utilizate pentru obtinerea celor trei imagini ale corpului obtinut în urma rotirii triunghiului dreptunghic în jurul ipotenuzei.

¨      Etapa I:

-         am selectat optiunile Snap (cu pasul 10) si Grid pe "on" si am ales urmãtoarea optiune de vizualizare a viewport-urilor: View/Viewports/Named Viewports/NewViewports/Three: Above;

-         am salvat aceastã structurã ca template, pentru a o putea utiliza si la celelalte desene.

¨      Etapa a II-a:

-         am dat urmãtoarea listã de comenzi:

 

Command: pline

Specify start point:

Current line-width is 0.0000

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: @40<270

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: @30<0

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: close

 

Command: zoom

 

Specify corner of window, enter a scale factor (nX or nXP), or

[All/Center/Dynamic/Extents/Previous/Scale/Window] <real time>:

Specify opposite corner:

Command: revolve

 

Current wire frame density:  ISOLINES=4

Select objects: 1 found

Select objects:

Specify start point for axis of revolution or

define axis by [Object/X (axis)/Y (axis)]:

Specify endpoint of axis:

Specify angle of revolution <360>:

 

Pentru definirea cu precizie a axei de rotatie am utilizat optiunile snap to end point aplicate pentru ipotenuza triunghiului.

¨      Etapa a III-a:

-         în vederea scoaterii la imprimantã am utilizat douã culori: negru pentru vizualizarea sectiunii axiale si a modului "3D Wireframe", respectiv rosu pentru a viziona corpul real.

În cele ce urmeazã vom prezenta alte corpuri de rotatie desenate cu ajutorul tehnicilor CAD. Putem afirma cã la unele corpuri este practic imposibil sã realizãm modele reale pentru fiecare caz în parte, cel putin din punctul de vedere al resurselor financiare necesare si a timpului necesar confectionãrii. Cu ajutorul calculatorului elevii vor vizualiza rapid modelul dupã care se pot ghida în realizarea desenelor în caietele de clasã,

Sã studiem o altã problemã de rotatie.

Problema 2. Se considerã un trapez dreptunghic având lungimea bazei mici de 3 cm, lungimea bazei mari de 6 cm si lungimea înãltimii de 4 cm. Calculati aria si volumul corpurilor obtinute în urma rotirii trapezului, respectiv în jurul bazei mici, a bazei mari si a înãltimii acestuia.

 

Vom prezenta corpurile astfel obtinute, specificând de fiecare datã modul de calcul al ariei si volumul acestuia. Pentru a obisnui elevii cu vizualizarea în spatiu a figurilor geometrice, vom ilustra figura de la care se porneste atât vãzutã în plan, cât si vãzutã în spatiu.

 

Pornim de la vizualizarea trapezului în plan si în spatiu ("pregãtit" pentru rotire).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rotirea în jurul bazei mici:

 

 

 

 

 

 

 

 Sectiune axialã                                    Vedere "3D Wireframe"                         Vizualizarea corpului  

 

 

În aceastã situatie se observã cã pentru a calcula aria corpului trebuie ca la aria lateralã a cilindrului de înãltime 6 cm si razã 4 cm sã  adunãm aria bazei acestui cilindru si aria lateralã a conului de razã 4 cm, generatoare 5 cm (calculatã cu ajutorul teoremei lui Pitagora) si înãltime 3 cm. Pentru calcularea volumului corpului rezultat în urma rotatiei, trebuie ca din volumul cilindrului sã scãdem volumul conului respectiv. Pentru a realiza aceste desene am folosit comanda pline pentru a desena trapezul si apoi am folosit comanda revolve pentru a se realiza efectiv rotirea. Dupã selectarea trapezului, am ales ca axã de rotatie baza micã a acestuia. Pentru exactitatea alegerii am folosit optiunea snap, suboptiunea Snap to Endpoint.

Prezentãm în continuare lista de comenzi date pentru realizarea desenelor:

 

Command: pline

Specify start point:

Current line-width is 0.0000

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: @30<180

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: @40<270

Specify next point or [Arc/Close/Halfwidth/Length/Undo/Width]: @60<0

Command: revolve

Current wire frame density:  ISOLINES=4

Select objects: 1 found

Select objects:

Specify start point for axis of revolution or

define axis by [Object/X (axis)/Y (axis)]: _int of

Specify endpoint of axis: _int of

Specify angle of revolution <360>:

 

În mod absolut analog s-au realizat si urmãtoarele cazuri:

Rotirea în jurul înãltimii:

 

 

 

 

                  Sectiune axialã                                                          Vedere "3D Wireframe"                  

 

 

 

 

 

                                                   Vizualizarea corpului

 

În urma rotirii s-a obtinut un trunchi de con de razã a bazei mari de 6 cm, razã a bazei mici de 3 cm, inãltime de 4 cm si generatoare de 5 cm.

 

Rotirea în jurul bazei mari:

 

 

 

 

 

           Sectiune axialã             Vedere "3D Wireframe"                   Vizualizarea corpului

 

 

În acest caz corpul obtinut se compune dintr-un cilindru circular drept de generatoare de 3 cm, razã de 4 cm, si dintr-un con de razã de 4 cm, înãltime de 3 cm si având lungimea generatoarei de 5 cm. Deci pentru a calcula aria corpului trebuie ca la aria lateralã a cilndrului sã adunãm aria unei baze a acestuia si aria lateralã a conului. Pentru a calcula volumul corpului, trebuie sã adunãm volumul cilindrului cu cel al conului.

Un corp deosebit de interesant se obtine în urmãtorul caz.

 

Rotatie în jurul laturii trapezului care nu este nici bazã nici înãltime:

 

 

 

 

 

 

 

Sectiune axialã             Vedere "3D Wireframe"                   Vizualizarea corpului

 

Se observã faptul cã s-a obtinut un corp format dintr-un trunchi de con la care se "adaugã" un con, respectiv se "extrage" un alt con. În acestã situatie aria corpului se obtine adunând ariile laterale ale corpurilor amintite anterior, iar volumul corpului se obtine adunând la volumul trunchiului de con volumul conulul de înãltime mai mare si apoi scãzând volumul conului de înãltime mai micã.

Considerãm acest exemplu ca fiind relevant în a demonstra extraordinarele facilitãti pe care le oferã tehnicile CAD în studiul problemelor de geometrie.

 

 

Home | BAC/Teze | Biblioteca | Referate | Games | Horoscop | Muzica | Versuri | Limbi straine | DEX

Modele CV | Wallpaper | Download gratuit | JOB & CARIERA | Harti | Bancuri si perle | Jocuri Barbie

Iluzii optice | Romana | Geografie | Chimie | Biologie | Engleza | Psihologie | Economie | Istorie | Chat

 

Joburi Studenti JOB-Studenti.ro

Oportunitati si locuri de munca pentru studenti si tineri profesionisti - afla cele mai noi oferte de job!

Online StudentOnlineStudent.ro

Viata in campus: stiri, burse, cazari, cluburi, baluri ale bobocilor - afla totul despre viata in studentie!

Cariere si modele CVStudentCV.ro

Dezvoltare personala pentru tineri - investeste in tine si invata ponturi pentru succesul tau in cariera!

 

 > Contribuie la proiect - Trimite un articol scris de tine

Gazduit de eXtrem computers | Project Manager: Bogdan Gavrila (C)  

 

Toate Drepturile Rezervate - ScoalaOnline Romania