Modelul Bohr-Sommerfield

Încercarile de perfectionare a modelului Bohr, facute în anii 1915–1925 au culminat cu construirea unei noi mecanici, mecanica cuantica, care sa îmbratiseze toate fenomenele la scara atomica în mod unitar. Principala contributie a avut-o fizicianul A. Sommerfeld care a generalizat modul de cuantificare, încercând sa aplice modelul Bohr cazului mai general, de miscare pe orbite eliptice. În acest caz trebuia cuantificata miscarea care acum depindea de doua marimi variabile. Într-o miscare circulara variaza doar pozitia electronului pe arcul de cerc, raza fiind constanta. În cazul miscarii electronului pe o orbita eliptica variaza atât pozitia electronului pe orbita (exprimata printr-o coordonata unghiulara (j)) cât si distanta electron-nucleu (r) (fig. de mai jos(2.9)). În figura sunt date toate distantele si punctele importante ale unei elipse. Elipsa din figura are o excentricitate e = 0,8.

    Mecanica arata ca în cazul miscarii pe o elipsa, centrul de forte (nucleul, Soarele) se gaseste nu în centrul elipsei (O), ci în unul din cele doua focare (F sau F'). Se spune de asemenea ca miscarea eliptica are doua grade de libertate. Sommerfeld a aratat ca la cuantificarea sistemelor cu mai multe grade de libertate vor aparea un numar corespunzator de numere cuantice. În conformitate cu regula de mai sus, se introduc doua numere cuantice n_r si n_f. Sommerfeld a calculat elementele geometrice ale orbitei eliptice (a, b,e) cât si energia orbitei (W_n) în functie de aceste numere cuantice, obtinând :

    Concluziile ce rezulta de aici sunt urmatoarele:

    1) energia pe traiectorie depinde doar de suma celor doua numere cuantice, din care motiv putem înlocui suma cu un nou numar cuantic

n = n_r + n_f (,,++'')

pe care introducându-l în relatia de mai sus  obtinem:

"*"

    Introducerea lui n duce la obtinerea aceleiasi expresii pentru energie ca cea obtinuta de Bohr.

2)  Forma traiectoriei eliptice depinde pe de alta parte de doua numere cuantice: n_r si n_f. Rezulta ca pentru o energie data a miscarii vor corespunde mai multe tipuri de traiectorii posibile. Cu alte cuvinte viteza, acceleratia, parametrii a si b ai orbitei pot sa difere fara ca energia totala a miscarii sa se modifice. Acest fenomen se numeste degenerare.

3)  Din relatia ,,++" rezulta ca n_f = n; n se numeste numar cuantic principal, iar n_f –numar cuantic azimutal. Prin definitie, numerele cuantice fiind întregi, rezulta ca n_f poate lua valorile: n_f = 1, 2, 3, 4, …, n. Valoarea n_f = 0 se exclude, caci ea ar corespunde unei orbite cu b = 0, care ar presupune traversarea nucleului de catre electron, orbita eliptica transformându-se într-un segment de dreapta. Rezulta ca unei energii W_n , îi vor corespunde n orbite diferite, posibile, de miscare a electronului.

    În tabelul de mai jos sunt exemplificate numeric o serie de orbite posibile, dându-se parametrii corespuzatori. În figura V.2.10 sunt reprezentate grafic diversele orbite posibile, iar în fig. V.2.11 nivelele energetice posibile pentru atomul de hidogen pentru primele trei valori ale lui n.

N	Wn	nj	a	b	Forma traiectoriei e	Numarul de orbite
1		1		a1	Cerc e=0	1
2	1/4W1	1	4 a1	a1	Elipsa e=0.96	2
		2	4 a1	4a1	Cerc e=0
3	1/9W1	1	9 a1	a1	Elipsa e=0.99	3
		2	9 a1	4a1	Elipsa e=0.89
		3	9 a1	9a1	Cerc e=0

W₁ = 2,1795 ? 10^–18 J = 13,60 eV ; a₁ = 5,2917 · 10^–11m = 0,52917 L.

    Miscarea pe o orbita eliptica se caracterizeaza si prin faptul ca viteza în lungul traiectoriei nu mai este constanta, ea fiind cu atât mai mare cu cât r se micsoreaza si inevrs. Deci viteza nu mai este cuantificata. Apare astfel îca o data în evidenta faptul ca, conditia de cuantificare nu se aplica lui r, f sau W, ci momentelor cinetice.

    Dar Sommerfeld nu s-a oprit aici, ci a atacat problema si mai complicata, dar mai apropiata de realitate, a orbitelor atomice care pot avea diverse înclinatii în spatiu. Se stie ca miscarea eliptica (sau circulara) se petrece într-un plan dat, fixat în spatiu (efect care în mecanica se numeste efect de giroscop). Dar asa cum a a considerat Sommerfeld, nu pare sa existe motive care sa împiedice orientari arbitrare ale planului orbital în spatiu. Altfel spus, electronul în miscarea lui pe orbita va trebui caracteriâzat prin trei parametri (coordonate): r, j si a treia: q = unghiul pe care-l face normala la planul orbital cu o directie oarecare în spatiu, notata pentru concretizare cu Oz .

În conformitate cu cele spuse, electronul va poseda tei grade de libertate, deci vor trebui introduse trei numere cuantice, doua cunoscute (care nu se modifica) n_{r, ,} n_j si un al treilea n_q. Ce modificari aduce considerarea a trei numere cuantice? Sommerfeld a aratat ca energia va fi descrisa tot de relatia "*", în care însa numarul cuantic principal va fi:

n = n_r + n_j + n_q

    Degenerarea miscarii creste în acest fel, orbitele de diverse orientari spatiale având aceeasi energie. Sa ne amintim ca momentul impulsului este un vector de marime | L| = r · mv, a carui directie este perpendiculara pe planul traiectoriei. Rezulta ca modificarea planului orbitei în spatiu va atrage modificarea proiectiei momentului pe directia Oz, aleasa fixa în spatiu. Marimea acestei proiectii este egala cu

L_z = |L| · cos q .

    Deoarece momentul L este cuantificat, ne asteptam ca si L_z sa fie cuantificat, numarul cuantic corespunzator fiind nq :

L_z = n_q · h =>  cos q  = n_q / n

   Aceasta relatie, deosebit de importanta si de neasteptata, exprima cuantificarea spatiala, care arata ca sunt posibile numai anumite orientari spatiale pentru orbitele electronice. Deoarece |cos q|<= 1, rezulta pentru nq urmatoarele valori posibile:

n_q =  n_j , n_j - 1, …, 0, …, - n_j +1, - n_j,

deci 2 n_j +1 valori. Este foarte important sa se remarce deosebirea între numerele cuantice n_r,  n_j , n pe de o parte si n_q pe de alta parte:  n_q poate lua atât valori pozitive cât si negative.

    Ultima problema pe care o vom discuta în acest context, este influenta variatiei masei cu viteza asupra miscarii electronului. Asupra orbitelor circulare, influenta variatiei masei cu viteza este destul de nesemnificativa, în sensul ca se produce o micsorare a razei orbitei ca urmare a cresterii masei cu viteza.

Daca luam cazul primei orbite Bohr, unde viteza este maxima raportul v / c= 0,73 × 10^-2 si m / m0 are aproximativ valoarea 1, deci influenta este neglijabila. Daca însa luam în consideratie orbitele eliptice, atunci aceasta variatie aduce un efect nou, si anume, viteza va fi variabila pe traiectorie masa va varia pe traiectorie în mod coresponzator. Ea va duce la cresterea masei în B, ceea ce va determina o crestere a inertiei si ca urmare orbita urmatoare nu se va suprapune identic cu cea anterioara. Apare în acest fel o lenta deplasare în spatiu a axei mari a elipsei. Ca urmare a acestui efect, orbita nu va mai fi în realitate o elipsa ci un fel de rozeta. Fenomenul se numeste precesia periheliului. Cum diversele orbite se caracterizeaza prin diverse forme si precesia periheliului va fi diferita la ele. Înseamna ca o parte din energia miscarii se cheltuieste pe aceasta precesie fapt ce conduce la dependenta (foarte slaba) energiei orbitei, de forma ei, adica de n_j . În acest fel introducerea corectiei relativiste micsoreaza gradul de degenerare, orbitele cu n_j diferit, dar cu acelasi n, vor diferi putin unele de altele si ca energie. Acest rezultat se concretizeaza prin existenta structurii fine a liniilor spectrale. Spre exemplu cele doua orbite cu n = 2, (n_j = 1 si n_j = 2) se vor separa energetic una de alta, ca urmare tranzitia 2 -> 1 va consta din doua linii extrem de apropiate, dar separabile experimental. În acest fel modelul Bohr- Sommerfeld reflecta fenomenele atomice cu un mult mai mare grad de precizie.

    Cu toate perfectionarile aduse modelului Bohr, cele mai importante fiind discutate anterior, modelul acesta nu a reusit sa explice o serie de fenomene.Cele mai serioase deficiente sunt urmatoarele:

• Modelul nu se poate aplica decât la hidrogen sau la atomi hidrogenoizi (atomi multiplu ionizati care poseda doar un singur electron). Toate încercarile de aplicare la atomul imediat superior, heliul care are doi electroni, au dat gres. S-a putut chiar demonstra ca în cadrul acestui model un atom cu mai multi electroni este instabil.

• Experienta arata ca liniile spectrale emise de atomi nu sunt toate la fel de intense. Acest lucru însa nu reiese de loc din modelul Bohr.

  Editor: Tutui Catalin